Question

已知三角形ABC为等边三角形，P为三角形ABC的外接圆上一点，当P在弧BC上时，求证：PA=PB+PC

要有详细说明

Answer 1

作BD平行于PC,则∠DBC=∠BCP，因为∠BPC=120度，所以∠PBC+∠PCB=60度，所以∠PBC+∠DBC=60度，因为∠ABC=60度，所以∠ABD=∠CBP，因为∠BCP=∠BAP，且AB=BC，所以△ADB≌△BPC，
因为BD=BP（全等）且∠DBP=60度，所以BD=DP，又因为PC=AD，所以AP=AD+DP=BP+PC！这可是目前最简便的解法了！

Answer 2

根据余弦定理，PB^2+PC^2-2*PB*PC*COS(BPC)=BC^2
易证角BPC=120度，原式=PB^2+PC^2+PB*PC
设这个圆的圆心为O,则
BC^2=2R^2+R^2
所以PB^2+PC^2+PB*PC=2R^2+R^2
利用待定系数法易证PB*PC=R^2
所以(PB+PC)^2=4R^2
因为AP=2R
所以PB+PC=正负AP(负舍去）
PB+PC=PA

Answer 3

根据托密勒定理，得：PB*AC+AB*PC=PA*BC
因为AB=BC=CA
所以得PB+PC=PA
原式得证

注：托密勒定理是如果圆有内接四边形，则四边形对边乘积之和等于两对角线的乘积。

Answer 4

根据托密勒定理