Question

求一道高一数学解三角形的难题（题+答案）

要整道题 必须附加答案 必须是难题

Answer 1

解三角形题:
已知：a=5 ，b=4 ，cos(A-B)=31/32 ，
求：C``
解答：
∵a＞b ,∴A＞B 。
作∠BAD＝B交边BC于点D 。
设BD＝x ，则AD＝x ，DC＝5-x 。
在ΔADC中，注意cos∠DAC＝cos(A-B)=31/32 ，由余弦定理得：
(5-x)^2=x^2+4^2-2x*4*31/32 ,
即：25-10x＝16-(31/4)x ,
解得：x＝4 .
∴在ΔADC中 ，AD=AC=4,CD=1 ,
∴cosC=(1/2)CD/AC=1/8 ，
∴C=arcos(1/8) 。

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在三角形ABC中。求证：
(a/b - b/a) = c[(cosB/b) -(cosA/a)]

证明：由正弦定理知a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以a/c=sinA/sinC b/c=sinB/sinC
又sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sin(180-C)=sinC
所以（sinAcosB+cosAsinB）/sinC=1
即sinA*cosB/sinC+sinB*cosA/sinC=a*cosB/c+b*cosA/c=1
得a*cosB+b*cosA=c
所以ac*cosB+bc*cosA=c^2
所以2ac*cosB-c^2=ac*cosB-bc*cosA
又有余弦定理知a^2+c^2-b^2=2ac*cosB
所以2ac*cosB-c^2=a^2-b^2
所以a^2-b^2=ac*cosB-bc*cosA
等式两边同除以ab得
a/b - b/a = c(cosB/b -cosA/a) 。

Answer 2

如图，M为线段AB的中点，AE玉BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=∠α，且DM交AC于F，ME交BC于G.

（1）写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；

                                 _

（2）连接FG，若果∠α=45°，AB=4√2,AF=3,求FG的长. 

1)AEM相似MEF  MDG相似BDM

因为角EMF=角EAM,角AEM=角AEM，所以三角形AEM相似于MEF

(2)FG的范围是[2√√2-1，2)

当F无限趋近于C，则FG=CG=2，为最大值。

当FG平行于AB，FG最小。可以由几个垂直关系，连MC，交FG于P，则在三角形MCG和三角形MPG中用射影定理，可求出FG=2√√2-1（两倍的根号根号2减1）

则FG范围如上结果。