Question

四边形ABCD为正方形，E为BC上的中点，AE平分角BAF，求证AF=BC+CF。

呵呵，其实第二个全等有这么好证吗？EHF全等EFC？

Answer 1

好证。
证法一：
过点E作EG⊥AF于点G，连接EF
首先，易证
△ABE≌△AGE
从而AG=AB=BC
又有EG=EB=EC，
从而又可证
△EFG≌△EFC
从而GF=CF
所以，有
AF=AG+GF=BC+CF。证完。

证法二：
以E为圆心，以EB为半径在正方形内部作半圆。
因为AE平分角BAF
所以AF与这个半圆相切，设切点为G。
因为AB，DC也与这个半圆相切，
所以有
AG=AB=BC
GF=CF
所以，有
AF=AG+GF=BC+CF。证完。

Answer 2

证明：从C点作AF的垂线交AF于G
在△ABE和△AGE中：
∠FAE=∠BAE
∠B=∠AGE=90°AE=AE
∴△ABE和△AGE全等
∴AG=AB=BC
GE=BE=CE
又∠C=∠EGF=90°
∴△ECF和△EGF全等
∴GF=CF
∴AF=AG+GF=BC+CF

Answer 3

过点E作 CG垂直于AF 交AF于G

容易得到 AGE全等于ABE(A.A.S)

所以AG=AB GE=BE=CE

再证GFE全等于CFE(H.L)

然后就得到GF=CF

最后得到AF=BC+CF

Answer 4

答：这是一个假命题AF=BC+CF是不可能右成立的。

Answer 5

做E到AF的垂线，交点为H
因为 AE平分角BAF，角B为直角，EH垂直AF
所以 EB=BH
因为 ABE AEH 是全等三角形
所以 AB=AH
同理可得EHF ECF 是全等三角形
所以 HF=CF
所以 AF=AH+HF=BC+CF