Question

微积分题目求解

Answer 1

分享一种解法。∵ρ=lim(n→∞)丨a(n+1)/an丨=lim(n→∞)(2n-1)/(2n+1)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。
又，lim(n→∞)丨a(n+1)x^(2n+1)/(an)x^(2n-1)丨=x²/R<1时，级数收敛。∴其收敛区间为x²<1，-1<x<1。
当x=±1时，-∑[(-1)^(n-1)]/(2n-1)是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛。∴该级数收敛域为-1≤x≤1。
设S(x)=∑[(-1)^(n-1)]x^(2n-1)/(2n-1)。对x求导、在其收敛区间 求和，∴S'(x)=∑(-x²)^(n-1)=1/(1+x²)。而，S(0)=0，∴S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=arctanx。
所求级数∑[(-1)^(n-1)]3^[(2n-1)/2]/(2n-1)之和，是S(x)在x=√3时的表达式。此时，x=√3不在其收敛域内，发散。故，其和极限不存在。
供参考。

Answer 2