Question

在数列an中，已知a1=1，an=2an-1+n-2，n∈N*，n≥2.(1)求...

在数列an中，已知a1=1，an=2an-1+n-2，n∈N*，n≥2. (1)求证:数列an+n是等比数列; (2) 求数列{an2n}的前n项和为Sn.

Answer 1

解答:解:(1)∵an=2an-1+n-2，
∴an+n=2(an-1+n-1)
∴数列{an+n}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列;
(2)有(1)知:an+n=2n即:an=2n-n，
∴
an
2n
=1-
n
2n
∴Sn=(1-
1
2
)+(1-
2
22
)+(1-
3
23
)+…+(1-
n
2n
)=n-(
1
21
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
)
令Tn=
1
21
+
2
22
+
3
22
+…+
n
2n
①
则
1
2
Tn=
1
21
+(
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
)-
n
2n+1
②
①-②得:
1
2
Tn=
1
21
+(
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
)-
n
2n+1
=
1
2
[1-(
1
2
)n]
1-
1
2
-
n
2n+1
=1-
1
2n
-
n
2n+1
.
∴Tn=2-
1
2n+1
-
n
2n
，
∴Sn=n-2+
1
2n+1
+
n
2n
.