Question

求幂级数∑（n=1,∞) Z^n/n^2的收敛半径 即区间n=1至∞，n的平方分之一，乘以z的n次方的收敛半径。

Answer 1

可以用D'Alembert比值判别法.
a[n]
=
1/n²,
a[n+1]
=
1/(n+1)²,
因此a[n+1]/a[n]
→
1.
对z
≠
0,
a[n+1]·z^(n+1)/(a[n]·z^n)
→
z.
故级数∑{1
≤
n}
z^n/n²
=
∑{1
≤
n}
a[n]·z^n在|z|
<
1时收敛,
|z|
>
1时发散.
收敛半径为1.
如果学过收敛半径的Cauchy-Hadamard公式:
1/R
=
limsup{n→∞}
|a[n]|^(1/n),
可直接由lim{n→∞}
n^(1/n)
=
1得到结论.

Answer 2

∑[
n=1,∞]{[(-1)^n](z^n)/(n!)}，cn=(-1)^n]/(n!),cn+1=(-1)^(n+)]/[(n+1)!]
λ=lim[n→∞]|(cn+1)/cn|=lim[n→∞]|{(-1)^(n+)]/[(n+1)!]/}/[(-1)^n]/(n!)]|=lim[n→∞][1/(n+1)]=0
故收敛半径r=1/λ=∞
且∑[
n=1,∞]{[(-1)^n](z^n)/(n!)}=e^(-z)在全复平面解析。