Question

09年全国初中数学联赛一题

用〔x〕表示不大于x的最大整数,则方程x^2-2〔x〕-3=0的解的个数为( )个.
a1, b2, c3, d4.
正确答案为c,问题是x=√7这个解用什么好点的方法求出呢?请简要说明.

Answer 1

设a+b=x,a=〔x〕，则 0≤b＜1
原式为
（a+b）^2-2a-3=0
这个分开讨论
x≥0则a≥0
则（a+b）^2-2a-3=0
（a+b）^2=2a+3
b=-a+根号（2a+3）
0≤b＜1
0≤-a+根号（2a+3）＜1
可得
根号2＜a≤3
则a=2或等于3
当a=2，的b=-2加根号7，x=根号7
当a=3，得b=0 x=3

你用同样方法试试当x小于0时时哪些值

Answer 2

首先根据x <= [x] < x + 1
解出x的范围，略

x为整数时，略

x不为整数时，x^2-3=2[x]为整数
由于x范围很小（大概只有几个），一一带入的[x],进而算出有上面等式算出x

这种题一般都用x <= [x] < x + 1先确定范围，再一一排除

Answer 3

x^2-2[x]-3=0

设x=a+b，其中，a=[x]，0≤b<1
原式变为：
(a+b)^2-2a-3=0
a^2+2ab+b^2-2a-3=0
把上式看作一个关于b的方程，为
b^2+2ab+(a^2-2a-3)=0
解这个方程可得：
b=-a±√(2a+3)

1.
x≥0时，a≥0
1）
b=-a+√(2a+3)
0≤-a+√(2a+3)<1
解得：
√2<a≤3
所以a=2或a=3
a=2时，b=-2+√7
x=a+b=√7
a=3时，b=-3+3=0
x=a+b=3
2)
b=-a-√(2a+3)
0≤-a-√(2a+3)<1
无解。
2.
x<0,则a<0
1）
b=-a+√(2a+3)
0≤-a+√(2a+3)<1
无解
2）
b=-a-√(2a+3)
0≤-a-√(2a+3)<1
解得：
-√2<a≤-1
所以a=-1
b=1-1=0
x=a+b=-1
所以一共三个解，分别为：x=-1，x=3，x=√7
选C

Answer 4

因为2[x] + 3是整数，所以x^2也是整数

当x < 0时，设x^2 = n^2 + t 其中n，t都是非负整数，且t小于2n + 1

这时[x] = n

当x<0时，原方程可写为n^2 + t + 2n - 3 = 0;

由n，t都是整数，可知，n = 1，t = 0，而x<0，所以x = -1；

当x >=0时，原方和可写为n^2 + t - 2n - 3 = 0;

由t大于等于0可知n小于4，n = 0时，t小于1显然没有满足条件的解

n等于2时，t = 3满足条件，这时x = 根号7，n = 3时，t = 0，x = 3
C