Question

设a.b属于实数 a的平方加2b方等于6求a加b的最小值

Answer 1

方法一(不等式法):
依Cauchy不等式得
6=a²+2b²
=a²/1+b²/(1/2)
≥(a+b)²/(1+1/2)，
∴-3≤a+b≤3.
即a:1=b:(1/2)且a²+2b²=6，
a=2，b=1时，
所求a+b的最大值为3，
且a=-2，b=-1时，
所求a+b最小值为-3.
方法二(判别式法):
设a+b=t，代入条件式得
a²+2(t-a)²=6
→3a²-4ta+2t²-6=0.
上式判别式不小于0，故
△=16t²-12(2t²-6)≥0，
解得，-3≤t≤3.
故所求最大值3，
所求最小值为-3.
方法三(三角代换法):
a²+2b²=6
→a²/6+b²/3=1.
故可设
a=√6cosθ，b=√3sinθ.
∴a+b
=√6cosθ+√3sinθ
=3sin(θ+φ)
(其中，tanφ=√6/√3=√2)
∴sin(θ+φ)=1时，
所求最大值为3;
sin(θ+φ)=-1时，
所求最小值为-3。

Answer 2

...：asinx+bcosx=根号(a^2+b^2)*sin(x+θ)，
其中“辅助角θ”满足条件“tanθ=b/a”.[1]
代入条件得：(t-b)^2+2b^2=6..：三角换元法
a^2+2b^2=6→(a^2)/6+(b^2)/,b=(根3)sinx，这里x∈r.
a+b=(根3)sinx+(根6)cosx
=根号下[(根3)^2+(根6)^2]sin(x+θ).
说明：[1]式用到公式..;3＝1..[1]
=3sin(x+θ)，(其中θ是辅助角)
而sin(x+θ)的最小值是-1，
所以a+b的最小值是-3，
设a=(根6)cosx..[2]
∵b是实数..解法1：判别式法，∴判别式δ≥0.
当t＝-3时，由[2]得b=-1,代入[1]得a=-2：t^2≤9.
所以a+b的最小值是-3(当a=-2,b=-1时取到）.....
解法2......，
∴-3≤t≤3....,
化简得,
即4t^2-12(t^2-6)≥0.....
设a+b＝t，则a＝t-b......,
3b^2-2tb+(t^2-6)=0.
参考资料：zhidao.baidu.com/question/32104611.html?si=2