Question

在数列{an}中，已知a1=1,a2=3,且a(n+2)-2a(n+1)+an=4(n属于正整数)，求an

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Answer 1

设b(n)=a(n)+k*n*n
则b(n+1)=a(n+1)+k(n+1)*(n+1)
b(n+2)=a(n+2)+k(n+2)*(n+2)
代入得b(n+2)-2b(n+1)+b(n)=4-2k
所以设k=2,b(n)=a(n)+2n^2
则b(n)为齐次方程b(n+2)-2b(n+1)+b(n)=0
b(1)= 3,b(2)= 11
这个方程可以解得b(n) = 8n-5(可以用特征方程或分解为等差数列求解)
所以a(n)=-2n^2+8n-5