Question

关于立体几何的数学问题。

正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为一，B1C交BC1于O，连结AO、AC，求面AOB与面AOC所成的角。

Answer 1

解:
法一(传统几何办法)
由于几何体为正方体,所以侧面BB1C1C对角线BC1与B1C垂直,所以CO垂直于BO,又AB垂直于侧面BB1C1C,所以AB垂直于CO,AB交BO于点B,由线面垂直的判定定理可知CO垂直于面AOB,CO在面AOC内，即面AOC过面AOB的一条垂线,因此,面AOB与面AOC垂直，即面AOB与面AOC所成的角为90度.
法二(向量法)以A为坐标原点,AD为x轴,AB为y轴,AA1为z轴建立空间直角坐标系，A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,O),O(1/2,1,1/2),在正方体内易得CO垂直于面AOB,所以向量CO为面AOB的一个法向量,向量CO=(-1/2,0,1/2),设向量n=(x,y,z)为平面AOC的一个法向量,则,向量z垂直于向量AC且向量z垂直于向量CO,向量AC=(1,1,O),向量CO==(-1/2,0,1/2),所以x+y=0且z-x=0,令x=1,则y=-1,z=1,由此可得法向量CO与另一个面的法向量z的夹角余弦值=0所以面AOB与面AOC垂直.即面AOB与面AOC所成的角为90度.
通过两种解法可以看到:
1、有的时候用向量没有传统几何办法简洁.
2、上述解答，这样写起来复杂，其实本问题比较简单。