Question

已知数列{an}满足a1=2,an+1=2(1+1/n)^2an,求an的通项公式

Answer 1

a(n+1)=2an/(an+2)
1/a(n+1)=(an+2)/(2an)=1/an+1/2
1/a(n+1)-1/an=1/2，为定值。
1/a1=1/1=1
数列{1/an}是以1为首项，1/2为公差的等差数列。
1/an=1/a1+(n-1)(1/2)=1+(n-1)/2=(n+1)/2
an=2/(n+1)
n=1时，a1=2/(1+1)=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2/(n+1)。

Answer 2

a[n+1]=2(1+1/n)^2*a[n]
a[n+1]=2*(n+1)^2/n^2*a[n]
a[n+1]/(n+1)^2=2*a[n]/n^2
即
a[n+1]/(n+1)^2
是以
an/1=2为首项，2为公比的等比数列，所以
a[n+1]/(n+1)^2=
2*
2^n=2^(n+1)
即
a[n]=n^2*2^n
验证n=1时
a1=1^2*2^1=2也成立
所以
a[n]=n^2*2^n