Question

函数极限和连续性有什么关系

连续是否一定有极限
有极限是否一定连续等

Answer 1

有极限不一定连续，但是连续一定有极限。一个函数连续必须有两个条件：一是在此处有定义，二是在此区间内要有极限。因此，也可以说函数有极限是函数连续的必要不充分条件。
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等。
在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。
扩展资料：
反函数连续性的证明：
如果函数f在其定义域D上严格单调且连续，那么其反函数f-1也在其定义域f(D)（即f的值域）上严格单调且连续。
证明：严格单调函数必定有严格单调反函数，并且单调性相同（证法参考反函数词条），因此只要证明反函数也在其定义域上连续即可。
设f是定义在D上的严格单增的函数（严格单减同理）。作辅助函数g(x)=x，显然g(x)的反函数就是它本身。由于g(x)在R上是连续的，因此它在D上也是连续的。
若D是开区间，设x0是D上任意一点，由g(x)的连续性可知，对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|g(x)-g(x0)|<ε。即|x-x0|<ε。
于是可取区间(x0-δ,x0+δ)上满足x1<x0<x2的两点（前提是x1、x2落在D内），根据f的连续性可知开区间(x1,x2)内的所有x（包括x0）都满足|x-x0|<ε。
设y1、y2、y0是x1、x2、x0对应的值，由f的单调性可知y1<y0<y2。
不妨设δ’=min{y0-y1,y2-y0}=y0-y1，（等于y2-y0同理），则当|y-y0|<δ‘，即y0-δ’=y1<y<y0+δ‘<y2时，有x1<x<x2。
根据上述分析，当x1<x<x2时，就有|x-x0|<ε。即对任意ε>0，存在δ’，当|y-y0|<δ‘时，|x-x0|<ε。这就证明了f-1在y0处连续。由于x0是任意的，因此y0也是任意的，因此f-1在f(D)上连续。
参考资料来源：百度百科-函数极限
参考资料来源：百度百科-连续函数