Question

对任意x∈R，函数f(x)的导数存在，若f′(x)＞f(x)且 a＞0，则以下正确的是（ ）

答案是A请给出详细解答过程，谢谢。附选项图

Answer 1

设函数f(x)=-e^(-x)

则满足f′(x)=e^(-x)＞f(x)=-e^(-x)
f（a）=-e^(-a) f（0）=-1
e^(a)*f（0）=-e^(a)

a>0 时 显然 e^(-a)<e^(a) 比如e^(-1)<e^(1)那么两边取负有
-e^(a)<-e^(-a)也就是 e^(a)*f（0）<f（a）也就是 A

完毕

Answer 2

选择第四个，这里解释不清楚。

Answer 3

令 g(x)=f(x)*e^(-x), 则
g'(x)
=f'(x)*e^(-x)+f(x)*(e^(-x))'
=e^(-x)*[f'(x)-f(x)] (由f'(x)>f(x))
>0
即g'(x)>0对任意a>0成立，所以在区间(a,正无穷)上，g(x)是增函数，从而g(a)>g(0). 注意到 g(a)=f(a)*e^(-a), g(0)=f(0), 所以有 f(a)*e^(-a)>f(0),即f(a)>e^a*f(0).

Answer 4

构造函数g(x)=f(x)e^(-x);
有g(x)的导数g'(x)=(f'(x)-f(x))e^(-x)>0;从而g(x)在R上严格单调递增;有g(a)>g(0)，即：f(a)e^(-a)>f(0);等价于f(a)>f(0)e^(a).所以选A;自然B错；至于C,D取f(x)=-1即可排除。