Question

请问点（a,b)关于直线y=x+m的对称点的公式是啥？如何推导？

Answer 1

当对称轴的斜率是
1
或
-1
时，求对称点的坐标有简单公式，就是把对称轴中的
x
、y
解出来，
然后用已知点的坐标代入，就得到对称点的坐标。
如本题，可得
x=m-y
，y=m-x
，
把已知点坐标代入可得
x=m-b，y=m-a
，
所以对称点的坐标为（m-b，m-a）。
至于公式的来历，还是由最简单的两件事得出：1、两点的连线垂直于对称轴，因此斜率之积等于
-1；2、两点连线的中点在对称轴上，因此坐标满足对称轴方程
。

Answer 2

设A(a,b)
对称点是B(c,d)
则AB垂直y=x+m
所以AB斜率是-1
(d-b)/(c-a)=-1
d=a-c+b
且AB中点在直线上
(b+d)/2=(a+c)/2+m
所以
b+a-c+b=a+c+2m
c=b-m
d=a+m
所以是(b-m,a+m)