Question

一道数学题，怎么解决？

Answer 1

这道题要证明函数f(x, y)在原点处连续，必须证明(0,0)处极限存在且为f(0, 0)=0。如果要证明极限不存在，随便选两个路径算出来极限值不一样就可以了，但是要证明极限存在，必须使用epsilon-delta定义。
证明(0, 0)处极限为0的过程：
对于任意给定的正数1>=epsilon>0（注意对于epsilon>1的情况，均可视为epsilon=1，此时定义一定得到满足），总存在正数delta=epsilon，使得当0<|(x0, y0)-(0, 0)|<delta时，恒有|f(x0, y0)-0|=|x0^3+x0^2|/sqrt(x0^2+y0^2)<=|x0^2|+|y0^2|/sqrt(x0^2+y0^2)=sqrt(x0^2+y0^2)=|(x0, y0)-(0, 0)|<delta=epsilon
因此f(x, y)在(0, 0)附近的极限为0。综合f(0, 0)=0，我们可以得到f(x, y)在(0, 0)处连续的结论。

Answer 2