Question

求齐次线性方程组通解

Answer 1

AB
=
O，
A
是非零矩阵，
若
B
为满秩矩阵，则
AB
不会是零矩阵。
要满足
AB
=
O，则
B
为降秩矩阵，
|B|
=
0,
得
k
=
9，
此时
r(B)
=
1,
若
r(A)
>
1
,
则
AB
不会是零矩阵。
要满足
AB
=
O，则
r(A)
≤
1
，
A
是非零矩阵，则
r(A)
=
1。
方程组
Ax
=
0
系数矩阵
A
可初等行变换为
[a
b
c]
[0
0
0]
[0
0
0]
则方程组
Ax
=
0
可同解变形为
ax1=
-
bx2
-
cx3
取
x2
=
-a,
x3
=
0,
得基础解系
(b,
-a,
0)^T
取
x2
=
0,
x3
=
-a,
得基础解系
(c,
0,
-a)^T
方程组的通解是
x
=
k1
(b,
-a,
0)^T
+
k2
(c,
0,
-a)^T

Answer 2

求行列式=0
1+a,1,1
2,2+a,2
3,3,3+a
推出a^2(a+6)=0,知a≠0或-6时有唯一解。
当a=0和-6时分别代入，化最简矩阵求通解即可。
a=0时；{x1,x2,x3}^T=k1{-1,1,0}+k2{-1,0,1},
k1,k2∈R
a=-6时；{x1,x2,x3}^T=k1{5/3,-2/3,1},
k1∈R