Question

考研数学微积分？

请问x的三次方乘以一个无穷小为什么是比三次更高阶的无穷小？下图红色标注位置

Answer 1

你可以这么考虑：
在x趋向0时，分子最低的阶次比分母还高，同时除以分母的阶次，分母变为1，分子还含有x的项次，最终结果为零。
在x趋向0时，分子最低的阶次比分母低，同时除以分子的最低阶次，分子中出现常数，分母还含有x的项次，最终结果为无穷大。
在x趋向0时，分子最低的阶次和分母一样高，同时除以分母的阶次，分母变为1，分子含有常数项，最终结果为常值。

对于本题，即sin6x+xf(x)必须是比x^3的阶次要高！(相等时为非零常值)
所以：sinx+xf(x)=o(x^3)

追问

谢谢答复，理解上懂了，但是答案中利用性质把极限拆写成极限值加一个无穷小的形式，这一步那就没啥用啊，我以为是在等式两边同乘x三次方得到结果，所以问，为什么x三次方和一个无穷小相乘是比三次更高阶得无穷小？

那答案中把原极限写成0加阿尔法那一步有啥用？根据极限为零，已经知道分子是更高阶的无穷小

追答

当然有用，相当于把xf(x)用等价无穷小量给表示出来了。后面就可以直接带入就算了。

高阶o(x^3)的可以扔了,我们使用泰勒展开，不就是这么用的吗

Answer 2

x³乘上无穷小与x³的比值趋近于0，对于n／m趋近于0(在一定条件下，且此时n，m皆趋近于0)，则n是比m更高阶的无穷小。你可以看一下高数书无穷小那一章节，关于高阶无穷小，等价无穷小的定义

Answer 3

因为这样题目给的条件才成立啊

Answer 4

将x³乘到等式右边时，αx³在x趋于0时与x³比阶，结果为0，由此可以得出αx³是比x³更高阶的无穷小。