Question

定义在上的函数,,且在处取极值.()确定函数的单调性.()证明:当时,恒有成立.

定义在上的函数,,且在处取极值. ()确定函数的单调性. ()证明:当时,恒有成立.

Answer 1

()利用在处取极值,求得的值,从而可得,再求导函数,即可求得的单调区间;()当时,,要证等价于,即,构造,证明在区间上为增函数,从而当时,,即,故问题得证.
()解:函数,则,
在处取极值
.(分)
,.
由,可得,由,可得,((分)
所以在上是增函数,在上是减函数.(分)
()证明:当时,,要证等价于,即
设,则.(分)
当时,,
所以在区间上为增函数.(分)
从而当时,,即,故(分).
本题重点考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查利用函数的单调性证明不等式,解题的关键是等价转化,构建新函数.