Question

高中向量数量积问题

ab均为向量|a|=1 |b|^2=2
a(a-b)=0可以得到a^2-ab=0 就可以算出cos夹角=45度
我平方了一下 [a(a-b)]^2=0
然后：
a^2(a^2-2ab+b^2)
=1（1-2ab+2)=0
算出来的cos夹角就不是45度了 我想了半天都弄不清楚哪里出错 为什么不能这样算呢？ 希望大家纠错！感激不尽！

Answer 1

[a(a-b)]^2≠a^2(a^2-2ab+b^2)！！（这是概念错误！）

[a(a-b)]^2＝a^2(a^2-2ab+b^2）×cos²＜a,a-b＞

＝（3-2√2cos＜a,b＞）cos²＜a,a-b＞＝0

cos²＜a,a-b＞＝0. ＜a,a-b＞＝90°,如图＜a,b＞＝45°

（3-2√2cosα）＝0产生的增根

Answer 2

这里不能平方，向量的点积两边不能像数值一样平方，[a(a-b)]^2=0 是错的，其次a^2(a^2-2ab+b^2)也是错的，2ab是向量积，不是两个数相乘，应是两向量模相乘再乘45度余弦。

Answer 3

你平方也没问题！关键是平方后的计算你出了问题。
在题目条件下，a(a-b)=0这是个数的等式，当然可以平方。
但你在计算a(a-b)的平方时，却不能=a^2(a^2-2ab+b^2)，因为这个数是这样的：a^2-ab，只有用这个数来平方，因此平方后应该是a^4-2(a^2)*ab+(ab)^2=1-2G(2)COS@+2*[(cos@)的平方]。而你平方的时候，把“数”“a(a-b)”打开了。当然就出错了。
这里表述太不方便了。供你参考。

Answer 4

问题在于[a·(a-b)]^2≠a^2(a^2-2a·b+b^2).

这里a是向量，(a-b)也是向量，设这两者之间的夹角为θ，
则[a·(a-b)]^2=(|a||a-b|cosθ)^2=|a|^2·|a-b|^2·(cosθ)^2,
而a^2(a^2-2a·b+b^2)=a^2·(a-b)^2=|a|^2·|a-b|^2,

除非cosθ=1,否则上下两式显然是不相等的.
所以像你这种平方计算有可解得对，但并不可靠.