Question

已知函数f（x）=sinxx2+1．下列命题：①函数f（x）的图象关于原点对称；...

已知函数f（x）=sinxx2+1．下列命题： ①函数f（x）的图象关于原点对称； ②函数f（x）是周期函数； ③当x=π2时，函数f（x）取最大值； ④函数f（x）的图象与函数y=1x的图象没有公共点． 其中正确命题的序号是（　　） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

Answer 1

解：函数定义域为R，且f（-x）=-f（x），即函数为奇函数，故①正确；
y=sinx是周期函数，而y=x2+1不是周期函数，故f（x）不是周期函数，即②错误；
f′(x)=(x2+1)cosx-2xsinx(x2+1)2，f′(π2)≠0，故f(π2)不是最值，即③错误；
因为f(x)-1x=sinx-x-1xx2+1，当x＞0时，sinx＜x，1x＞0，故sinx-x-1x＜0，f（x）＜0；
当x＞0时，sinx＞x，1x＜0，故sinx-x-1x＞0，f（x）＞0．即函数f（x）的图象与函数y=1x的图象没有公共点，④正确．
故选：C．