证明题：设a1,a2,a3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，
证明：β1=a1+2a2+a3，β2=2a1+3a2+4a3，β3=3a1+4a2+3a3也可作为AX=0的基础解系...
证明：β1=a1+2a2+a3，β2=2a1+3a2+4a3，β3=3a1+4a2+3a3也可作为AX=0的基础解系
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证明:
因为
β1,β2,β3
是a1,a2,a3的
线性组合
所以
β1,β2,β3
仍是
Ax=0
的解.
又因为两个向量组的个数相同,
所以只需证β1,β2,β3
线性无关
.
(β1,β2,β3)=(a1,a2,a3)K
K
=
1
2
3
2
3
4
1
4
3
因为
|K|=4≠0,
所以
K
可逆.
所以
r(β1,β2,β3)=r[(a1,a2,a3)K]=r(a1,a2,a3)=3
所以
β1,β2,β3
线性无关.
故
β1,β2,β3
是Ax=0
的
基础解系
.
因为
β1,β2,β3
是a1,a2,a3的
线性组合
所以
β1,β2,β3
仍是
Ax=0
的解.
又因为两个向量组的个数相同,
所以只需证β1,β2,β3
线性无关
.
(β1,β2,β3)=(a1,a2,a3)K
K
=
1
2
3
2
3
4
1
4
3
因为
|K|=4≠0,
所以
K
可逆.
所以
r(β1,β2,β3)=r[(a1,a2,a3)K]=r(a1,a2,a3)=3
所以
β1,β2,β3
线性无关.
故
β1,β2,β3
是Ax=0
的
基础解系
.
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