Question

牛顿 莱布尼兹公式能否对积分上限函数使用?

Answer 1

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.
目录
1基本信息
2定积分式
3Φ性质
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（不知道怎么提意见,这里的分类有误：微积分基本定理和微积分基本公式是两个不同的东西,此处好像归结为同一类了.此处表述的是微积分基本公式,即牛顿-莱布尼兹公式.微积分基本定理是一个定理,关于连续函数形成的变限积分可导的定理.忘改正）
1基本信息
若函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且F(x)是f(x)的一个原函数,则
这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式.
2定积分式
如果我们把
中的积分区间的上限作为一个变量x,这样我们就定义了一个新的函数：
但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：
3Φ性质
1、定义函数
,则
与格林公式和高斯公式的联系
.
证明：让函数
获得增量
,则对应的函数增量
显然,
而
（ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,
也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.）
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x）,故有
可见这也是导数的定义,所以最后得出
.
2、
,F(x)是f(x)的原函数.
证明：我们已证得
,故
但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F(a)=C
于是有Φ(x)+F(a)=F(x),当x=b时,Φ(b) = F(b) - F(a),
而
,所以
把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.