Question

试证明：能被3整除的三位数各数位上的数的和能被3整除

Answer 1

设该三位数为100a+10b+c=3k。

因为99a+9b=3(33a+3b)可以被三整除=3k1。

所以a+b+c=(100a+10b+c)-(99a+9b)=3(k-k1)。

因为k，k1都是整数，所以k-k1也是整数。

整除的基本性质：

1、若b|a，c|a，且b和c互质，则bc|a。

2、对任意非零整数a，±a|a=±1。

3、若a|b，b|a，则|a|=|b|。

4、如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。

5、如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反过来也成立。

Answer 2

设这个三位数是[abc],(注：用[abc]表示abc是一个三位数的三位,a表示百位,b表示十位,c表示个位,是为了区别abc表示a和b和c相乘,只是为了方便,非通用记号),那么[abc]=100a+10b+c （十进制的意义）=99a+9b+（a+b+c）,99a+9b是一定可以被三整除的,所以只要[abc]能被三整除等价于a+b+c即各位数上的和能被3整除 （事实上从证明可以看出对任意位整数这个结论都是对的）