一阶线性微分方程通解

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wjl371116
2020-12-07 · 知道合伙人教育行家
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知道合伙人教育行家
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形如 dy/dx+Py=Q.........①的方程谓之一阶线性微分方程,其中P,Q都是x的函数.
为解此类方程,可先求出齐次线性方程:dy/dx+Py=0........②的通解。
分离变量得:dy/y=-Pdx; 积分之得:lny=-∫Pdx+lnC₁或写成:y=C₁e^(-∫Pdx);
然后用积分常数变易法求出原方程的通解:将C₁换成x的函数u,即得:y=ue^(-∫Pdx)........③;
两边对x取导数得:dy/dx=(du/dx)e^(-∫Pdx)-Pue^(-∫Pdx)...........④;
将③,④代入原式①中以确定u:(du/dx)e^(-∫Pdx)-Pue^(-∫Pdx)+Pue^(-∫Pdx)=Q
化简即得:du/dx=Qe^(∫Pdx);
于是可得 u=∫Qe^(∫Pdx)dx+C;
再代入③即得原方程的通解:y=e^(-∫Pdx)[∫Qe^(∫Pdx)dx+C];
此式可做公式使用。
如果不喜欢用这种公式,你就从头到尾按上述步凑走一遍。
江苏华简晟01
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本回答由江苏华简晟01提供
名字叫难忘啊DM
高粉答主

2020-12-07 · 醉心答题,欢迎关注
知道答主
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2020-12-07 · TA获得超过2.6万个赞
知道大有可为答主
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、对于一阶齐次线性微分方程:

搜狗问问

其通解形式为:

搜狗问问

其中C为常数,由bai函数的初始条件决定。
2、对于一阶非齐次线性微分方程:

搜狗问问

其对应齐次方程:

搜狗问问

解为:

搜狗问问

令C=u(x),得:

搜狗问问

带入原方du程得:

搜狗问问

对u’(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为:

搜狗问问

扩展资料

主要思想:
数学上,分离变量法是一种zhi解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法,可以dao借代数来将方程式重新编排,让方程式的一部分版只含有一个变量,而剩余部分则跟此变量无关。这样,隔离出的两个部分的值,都分别等于常数,而两个部分的值的代数和等于零。
利用高数知识、级数权求解知识,以及其他巧妙的
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