Question

位移与速度的关系

Answer 1

速度与位移成正比，推导出的结论荒谬吗?

　　有位老师在课上关于这一点是这样分析的：若速度与位移成正比，则可以作出如图1所示的速度-距离图像，其斜率有何意义?斜率代表时间。由于这是一次方的关系，斜率是不变的，那就意味着不管下落多长时间，时间都是一样的，这显然与事实不符。

自由落体速度003.jpg

　　首先，有必要先了解一下斜率的定义。斜率，亦称“角系数”，表示一条直线相对于横坐标轴的倾斜程度。如图2所示，一条直线与某平面直角坐标系横坐标轴正半轴方向的夹角的正切值就是该直线相对于该坐标系的斜率，其定义式：k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)=Δy/Δx。由此，可以看出，这位老师的分析偷换了概念，存在严重的漏洞：图1中v与x的斜率应该是k=Δx/Δv，其中Δx为位移的变化量，Δv应该是速度的变化量，从单位上看Δx/Δv是一个时间单位，但其比值不是物体的运动时间。

自由落体速度004.jpg

　　通过位移的时间微分可以推导和分析“速度与位移成正比”的运动特性。若v∝x，则速度和位移的关系可以写成等式v=kx，用位移的微分表示速度得到：dx/dt=kx，将x和t分离变量得到：dx/x=kdt，等式两边分别对位移和时间进行积分可得ln(x/x0)=kt，x=x0ekt，进一步计算可得到物体运动的速度和加速度分别为：v=dx/dt=kx0ekt=kx，a=d2x/d2t=k2x，可见如按上述运动的定义，在物体的运动过程中，v与x成正比，其加速度a与x也成正比，也就是随着v的增大，x和a都增大，分别存在k和k2的正比关系。并且若x0=0，则在任何时刻x、v、a均为0，因此会得出的是荒谬的结论。

　　后来伽利略本人也意识到了v与x成正比的假设会导致明显的谬误，转而设想而v与t成正比，用实验和推理方法进行了研究。

Answer 2

相信大家在生活中都知道有位移和速度这两个概念，但是具体的在物理学上而言，位移与速度的关系是什么呢？其实位移就是速度在时间上的累计，速度准确来说属于相对量的一种。放在生活中就是一个物体相对于另外一个物体，其相对位置在单位时间内变化的量的大小，也就是位移的大小。平时当我们形容某个物体在一个的时间内做某种动作的多少或者快慢的时候便会涉及到这两个概念。速度属于矢量的一种，故速度是有方向性的。位移用位移表示物体(质点)的位置变化。定义为：由初位置到末位置的有向线段。其大小与路径无关，方向由起点指向终点。它是一个有大小和方向的物理量，即矢量。物体在某一段时间内，如果由初位置移到末位置，则由初位置到末位置的有向线段叫做位移。它的大小是运动物体初位置到末位置的直线距离；方向是从初位置指向末位置。位移只与物体运动的始末位置有关，而与运动的轨迹无关。如果质点在运动过程中经过一段时间后回到原处，那么，路程不为零而位移则为零。