Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，CD//AB，AD⊥AB，AD=DC=二分之一AB，BC⊥PC。

如图，在四棱锥P-ABCD中，CD//AB，AD⊥AB，AD=DC=二分之一AB，BC⊥PC。(1)求证:PA⊥BC (2)试在线段PB上找一点M，使CM//平面PAD，并说明理由

Answer 1

解:(1)连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E，
在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，
AD=DC，所以四边形ADCE是正方形.
所以∠ACD=∠ACE=45°
因为AE=CD=12AB，所以BE=AE=CE
所以∠BCE═45°
所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°
所以AC⊥BC，又因为BC⊥PC，AC∩PC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC
所以BC⊥平面PAC，而PA⊂平面PAC，所以PA⊥BC.(7分)
(2)当M为PB中点时，CM∥平面PAD，(8分)
证明:取AP中点为F，连接CM，FM，DF.则FM∥AB，FM=12AB，
因为CD∥AB，CD=12AB，所以FM∥CD，FM=CD.(10分)
所以四边形CDFM为平行四边形，所以CM∥DF，(11分)
因为DF⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，所以，CM∥平面PAD.(13分)