Question

f(x)=x^k*sinx^-1,x>0,在x=0出连续,则常数k的取值范围

设f(x)=①（x^k）sin(1/x),x≠0.②0,x=0
设f(x)=①（x^k）sin(1/x),x≠0.②0,x=0
在x=0处可导,试确定k的取值范围

Answer 1

由x≠0,
当k=0时,
这时,x^k=1,
f[x]=sin(1/x)
在x=0处的左右极限不存在,
故f[x]在x=0处不连续,
与f[x]在x=0处可导矛盾.
当k≠0时,
f′(x)=kx^(k-1)sin(1/x)-x^(k-2)cos(1/x)
∵│sin(1/x)│≤1,│cos(1/x)│≤1,
当k≥2时,有
∴f′-(0)=f′+(0)=0
即f[x]在x=0处可导.
综上所述
k的取值范围是[2,＋∞).