Question

求一道数学竞赛题

在平面直角坐标系中，已知A（-1，5），B（-6，1），在X轴有点C（m,0),在y轴有点（0，n），使AB+BC+CD+DA最短，求n分之m

已知A B C是正整数，且a的平方+b的平方=c的平方，又a为质数，证明：
1，b c一奇一偶
2，2（a+2b-c+2)为完全平方数

谢谢
我上初二，希望过程详细一些

Answer 1

1.A'点与A关于y轴对称，A'(1，5)
B'点与B关于x轴对称，B'(-5，-1)
则有AD=A'D ,BC=B'C
因此AB+BC+CD+DA=AB+B'C+CD+DA'，AB为定值，B'C+CD+DA'为B'点到A'点间的折线线段和。显然当B'CDA'在同一直线上时线段和最小。
直线B'A'为 y=x+4
m=-4，n=4
m/n=-1

2.a^2+b^2=c^2
即a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)
因为a为质数，所以c-b=1 ，c+b=a^2
解得c=(a^2+1)/2 b=(a^2-1)/2
c-b=1，则b c一奇一偶
将b，c代入2（a+2b-c+2)
原式=a^2+2a+1=(a+1)^2 为完全平方数