Question

已知函数f(x)=(x+a)\(x^2+b)是定义在R上的奇函数,其值域为[-1\4,1\4]

(1)试求a，b的值

为什么我用这种方法算出来是个范围？http://zhidao.baidu.com/link?url=nnuuvcQw3t_RDR7BsNnV8jkz9b7hnr2mHn4suIP06fKeGU6G6cvOmzasbxtvwzMwoWEPDJPneywL2Jt9DY1h2q。就是这道题的过程，可我算出来是范围，算不出b来

Answer 1

答：
f(x)=(x+a)/(x^2+b)是定义在R上的奇函数
则满足以下两式：
f(-x)=-f(x)
f(0)=0：f(0)=a/b=0
所以：a=0
f(x)=x/(x^2+b)定义域为R，说明x^2+b>0恒成立
所以：b>0（x=0时）
f(x)=x/(x^2+b)=y∈[-1/4，1/4]，整理得：
yx^2-x+by=0
关于x的方程恒有解
则判别式=(-1)^2-4by^2>=0
所以：y^2<=1/(4b)∈[0,1/16]
所以：
1/(4b)=1/16
所以：b=4

追问

为什么1/4b∈[0,1/16]就得出1/4b=1/16？

追答

因为：y∈[-1/4，1/4]

所以：0<=y^2<=1/16
现在从判别式上可以得出y^2<=1/(4b)
那么就必须有：1/(4b)=1/16才可以，
不然就会导致函数的值域不是[-1/4，1/4]
所以：4b=16，b=4