Question

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椭圆R的方程为x²／4＋Y²＝1，设A、B、M是椭圆上的三点，若向量OM＝3／5向量OA＋4／5向量OB，点N为线段AB的中点，C、D两点的坐标分别为（负二分之根号六，0）、（二分之根号六，0），求证：|NC|＋|ND|＝2根号2

Answer 1

挺简单的，设A的坐标（2cosA,sinA）B(2cosB,sinB),M(2cosM,2sinM).
根据向量OM＝3／5向量OA＋4／5向量OB，列出式子3/5cosA+4/5cosB=cosM,
3/5sinA+4/5sinB=sinM,左右平方和等于一
求出A=B+90度（M无关紧要了），此时N的坐标可以用(cosA-sinA,(sinA+cosA)/2)表示，所以明显是椭圆x^2+4y^2=2
仔细斟酌一下我的方法，在椭圆之中是非常实用的，以后用处也会很多

追问

如何得出3/5cosA+4/5cosB=cosM再详细点

追答

因为向量OM＝3／5向量OA＋4／5向量OB啊，向量OM=（2cosM,sinM）,OA=(2cosA,sinA),OB=(2cosB,sinB),关键就是这种设三角函数的办法是要求满足椭圆关系式，你看看这三个点的坐标都是满足椭圆x²／4＋Y²＝1的，然后就有如上关系式了3/5cosA+4/5cosB=cosM,
3/5sinA+4/5sinB=sinM,

追问

OA=（2cosA，sinA）怎么又等于cosA求此步过程

Answer 2

设A坐标(x1,y1),B(x2,y2),则有M坐标是(3/5x1+4/5x2,3/5y1+4/5y2)

代入椭圆方程中有:
x1^2+4y1^2=4
x2^2+4y2^2=4
(3/5x1+4/5x2)^2+4(3/5y1+4/5y2)^2=4
9/25(x1^2+4y1^2)+16/25(x2^2+4y2^2)+24/25x1x2+4*24/25y1y2=4
x1x2+4y1y2=0
又N坐标是((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
那么有NC=根号[(x1+x2+根号6)^2/4+(y1+y2)^2/4]
ND= 根号[(x1+x2-根号6)^2/4+(y1+y2)^2/4]

追问

然后怎么计算？