设n是任意整数,求证:n²+n+1≡0(mod 3) 或n²+n+1≡1(mod 3) 求帮助
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分三种情况讨论。
因为 n 为整数，所以 n ≡ -1，0，1(mod 3) 。
（1）如果 n ≡ -1 ，则 n^2+n+1 ≡ (-1)^2+(-1)+1 ≡ 1 (mod 3) ；
（2）如果 n ≡ 0 ，则 n^2+n+1 ≡ 0+0+1 ≡ 1 (mod 3) ；
（3）如果 n ≡ 1 ，则 n^2+n+1 ≡ 1+1+1 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3) ，
所以，对任意整数 n ，n^2+n+1 ≡ 0 或 1 (mod 3) 。
因为 n 为整数，所以 n ≡ -1，0，1(mod 3) 。
（1）如果 n ≡ -1 ，则 n^2+n+1 ≡ (-1)^2+(-1)+1 ≡ 1 (mod 3) ；
（2）如果 n ≡ 0 ，则 n^2+n+1 ≡ 0+0+1 ≡ 1 (mod 3) ；
（3）如果 n ≡ 1 ，则 n^2+n+1 ≡ 1+1+1 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3) ，
所以，对任意整数 n ，n^2+n+1 ≡ 0 或 1 (mod 3) 。
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∵n²+n=n(n+1)≡0(mod 3)或n²+n≡2(mod 3)
∴n²+n+1≡1(mod 3) 或n²+n+1≡0(mod 3)
∴n²+n+1≡1(mod 3) 或n²+n+1≡0(mod 3)
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