Question

有关一元二次方程的问题?

若A B C为ΔABC的3条边,且关于X的方程4X2+4(A2+B2+C2)X+3(A2B2+B2C2+C2A2)=0 有2个相等的实数根.求证ΔABC是等边三角形.(字母后面的数字是该字母的指数,字母前面的数字是该字母的系数.如4X2是X的平方的4倍,A2B2是A的平方与B的平方的积.) 请各位高手快点解出来!我是初3的所以使用的方法不要超过初中的水平!谢谢!~

Answer 1

方程4X2+4(A2+B2+C2)X+3(A2B2+B2C2+C2A2)=0 有2个相等的实数根

那么判别式=0

即：16[a^2+b^2+c^2]^2-4*4*3[a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2]=0

a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-3a^2b^2-3b^2c^2-3a^2c^2=0

a^4+b^4+c^4-a^2b^2-a^2c^2-b^2c^2=0

[(a^4+b^4-2a^2b^2)+(a^4+c^4-2a^2c^2)+(b^4+c^4-2b^2c^2)]/2=0

[a^2-b^2]^2+[a^2-c^2]^2+[b^2-c^2]^2=0

a^2-b^2=a^2-c^2=b^2-c^2=0
a^2=b^2=c^2
a=b=c

所以，三角形是等边三角形