Question

设a,b∈R,且a+b=1,求证(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥25/2

RT

Answer 1

利用a^2+b^2>=0.5*(a+b)^2
代入:(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
>=0.5*(a+1/a+b+1/b)^2
=0.5*(1+1/ab)^2
很容易得ab<=0.25*(a+b)^2=1/4 得到1/ab>=4
因此原式 >=0.5*(1+4)^2=25/2
两个不等号取等号时的条件是一样的,都是a=b.因此成立.

Answer 2

引用：A^2+B^2>=(A+B)^2/2 （展开，显然成立）
所以原式左边》（a+1/a+b+1/b)^2/2
=(1+1/ab)^2/2
因为1=a+b>=2/ab
所以ab<=1/4, 即1/ab>=4
代入上式，即得证