Question

求解排列组合概率问题！

有3个乒乓球，依次随机落入A、B两个盒子，其中A盒子最多容纳2个，B盒子可容纳无限个，问：当有两个球落入A盒子的概率是多少。（注：当A盒子先落入2个球后，第3个球落入B盒子的几率是100%）。扩展提问：有8个乒乓球，依次随机落入A、B、C、D四个盒子，其中，A、B、C3个盒子最多各可容纳2个球，D盒子可容纳无限个球，问：A、B、C四个盒子均装满2个球的概率是多少？ 请详细解答并帮助理解：因为是“依次”随机落入！所以当一个盒子满了后，下一个乒乓球落入其他盒子的概率应该提高了，如何计算。

Answer 1

答案: 3/7; 2520/12961.

第一问：

用1,2,3表示第1，2，3个落入盒子的球。用(A,B)表示A盒中的球的集合与B盒中的球的集合的集合对。则(A，B)恰有7种可能：

(1,23),(2,13),(3,12),(12,3),(13,2),(23,1),(空,123)。

其中A有两个球的显然恰有3种，所以概率3/7.

第二问：

设A,B,C,D分别落入a,b,c,d个球。把8个编号的球分成4份，使得第1份a个，第2份b个，第3份c个, 第4份d个的分法数是{8 choose a,b,c,d}=8!/a!/b!/c!/d!。每一种分法对应一次落球过程，即编号顺序=落球顺序。每个盒子都恰为2个球的分法数是8!/2!/2!/2!/2!=2520. 全部的落球可能性计数为：

S=∑{a,b,c≤2}{8 choose a,b,c,8-a-b-c}.

所以要求的概率是：2520/S. 下面计算S，一共3种情况：

1. a=b=c: 8!*(1/8!+1/5!+1/2!^4)=2857.

2. a,b,c中恰有2个相同: 8!*3*[1/7!+1/6!+1/2/6!+1/2/2/4!+1/2/4!+1/2/2/3!]=9096.

3. a,b,c互不相同: 6/2/5!=1008
   

总计2857+9096+1008=12961.

所以所求的概率是2520/12961，大概是19.44%.

从答案看，几乎没有更简单的方法。