Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-3,0），B（1,0），C（-2，1），交y轴与点M。

求抛物线的表达式
D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴与点E，叫线段AM与点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标。
抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴与点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

图画的不咋地，但是应该能看懂吧！

Answer 1

如图，设y = ax^2 + bx + c, 将ABC坐标代入，得a = -1/3, b = -2/3, C = 1, M(0,1)

AM: y = 1/3 x + 1

DF = -1/3x^2 - 2/3x + 1 - 1/3 x -1 = -1/3 x^2 -x, x = -1.5时，DF 最大值为 3/4

PAN与MAO相似有图中两种情况

P 在第4象限，|-1/3 x^2 - 2/3 x + 1| / (x+3) = 1/3, 得P(2,-5/3)

同样第三象限,AN/PN = 1/3, 得P（-8,-15），

追问

还是有些没看懂，能把步骤在写清楚一些吗？

追答

得到抛物线方程没问题吧
找P点坐标就是解方程，AMO是直角三角形，tan<MAO = 1/3, 所以PNA满足这个就可以了