Question

已知a.b.c为两两不相等的实数，求证a2+b2+c2大于ab+bc+ca

已知a.b.c为两两不相等的实数，求证a2+b2+c2大于ab+bc+ca

Answer 1

a2+b2+c2-(ab+bc+ca)
=1/2(a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac+a²)
=1/2[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]
∵a.b.c为两两不相等的实数
∴(a-b)²>0，(b-c)²>0，(c-a)²>0
∴a2+b2+c2-(ab+bc+ca)>0
∴a2+b2+c2大于ab+bc+ca

Answer 2

均值不等式
证明：a²+b²≥2ab
同理，
三个式子相加，除以二，
得a2+b2+c2大于ab+bc+ca

Answer 3

a^2 + b^2 > 2ab ①（不取等号因为a不等于b）
a^2 + c2 > 2ac ②
c^2 + b^2 > 2bc ③
把这2个式子相加，有 2(a^2+b^2+c^2)>2(ab+ac+bc)

Answer 4

2((a2+b2+c2)-(ab+bc+ca))=(a-b)2 +(c-b)2+(a-c)2 >0