Question

正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求平面A1BD其中的一个法向量

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

解析:
解法一：（I）取BC中点O，连结AO.

∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.

∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1,

∴AO⊥平面BCC1B1,

连结B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分别为BC、CC1的中点，

∴B1O⊥BD,

∴AB1⊥BD.

在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，

∴AB1⊥平面A1BD.

(II)设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由（I）得AB1⊥平面A1BD，

∴∠AFG为二面A-A1B-B的平面角.

在△AA1D中，由等面积法可求得AF＝，

又∵AG＝=,

∴sin∠AFG=,

所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin.

解法二：（I）取BC中点O，连结AO.

∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.

∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

∴AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1中点O1，以a为原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1,0,0）,D (-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),

∴

∵

∴⊥⊥,

∴AB1⊥平面A1BD.

(II)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z).

∵n⊥⊥,

∴ ∵ ∴

令z=1得a=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量.

由（I）知AB1⊥A1BD.

∴为平面A1BD的法向量.

cos<n1>===-.

∴二面角A-A1D-B的大小为arccos.
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