Question

如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，P是△ABC内的任意一点，EF//AB，GH//BC，MN//AC。

试猜想：EF+GH+MN的值是多少？其值是否随P位置的改变而变化？并说明你的理由。

Answer 1

解：（1）
∵MN‖AC，EF‖AB，
∴四边形AMPE是平行四边形
∴PE=AM
同理PF=GB
∴EF=PE+PF=AM+GB ①

∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵GH‖BC
∴∠AGH=∠B=60°，∠AHG=∠C=60°
∴△AGH是等边三角形
∴GH=AG=AM+MG ②
同理MN=MB=MG+GB ③

①+②+③得
EF+GH+MN
=AM+GB+AM+MG+MG+GB
=2(AM+MG+GB)
=2AB=2x4=8

（2）由（1）得
EF+GH+MN=2AB=8为定值
所以不随P位置的改变而变化。

Answer 2

EF+GH+MN=8cm，其值不随点P位置的改变而改变。
由于等边三角形内的三条线都是与三条边分别平行的线，可知△GMP、△PEH、△FPN和△ABC是相似三角形。因此，那三个小三角形都是等边三角形,其中三个四边形都是平行四边形，然后很容易的就得到MP+PE+PN=AC=4cm,PG+PF+PH=BC=4cm.
EF+GH+MN=2*4=8