Question

一道高一必修一数学题···

已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣2,0）时，f(x)＝（﹣5^x）÷（（25^x） +1）。
⒈求函数fx在（-2,2）上的解析式
⒉判断fx在（0，-2）上的单调性
⒊当β取何值时，方程fx=β在（-2,2）上有实数解？

Answer 1

在实数集R上的奇函数

∴f(0)=0

x∈（﹣2,0）时，f(x)＝（﹣5^x）÷（（25^x） +1）

x∈(0,2)时

-x∈（﹣2,0）

f(-x)＝（﹣5^(-x)）÷（（25^(-x)） +1）

     =(-1/5^x)÷[(25^x+1)/(25^x)]

    =-5^x÷（（25^x） +1）

在实数集R上的奇函数

f(x)=-f(-x)

    =5^x÷（（25^x） +1）

x∈（﹣2,0）时，f(x)＝（﹣5^x）÷（（25^x） +1）

x=0时，f(x)=0

x∈(0,2)时，f(x)＝（5^x）÷（（25^x） +1）

(2)

f(x)在(-2,0)上递减，在(0,2)上递减

(3)

fx=β在（-2,2）上有实数解

f(2)=25/626

f(-2)=-25/625

∴有解

-1/2<β<-25/626

β=0

25/626<β<1/2

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Answer 2

解：

（1）

f(x)是定义在实数集R上的奇函数

=>  f(0)=0

 

f(x)=-5^x/(25^x+1)=-5^x/(5^ 2x +1)=-1/(5^x+5^-x)       x∈(-2,0)

令x∈(0,2)，此时-x∈(-2,0)，于是

f(x)=-f(-x)=1/(5^x+5^-x)     x∈(0,2)

 

综合上述

f(x)=sgn(x)/(5^x+5^-x)       x∈(-2,2)

 

（2）（3）

令x∈(0,2)，则v=5^x∈(1,25)，u=v+1/v∈(2,626/25)，g(u)=1/u∈(25/626,1/2)

反比例函数g(u)=1/u，u∈(2,626/25)单调递减

对号函数u(v)=v+1/v，v∈(1,25)单调递增

指数函数v(x)=5^x，x∈(0,2)单调递增

=>   复合函数f(x)=1/(5^x+5^-x) =g(u(v(x)))，x∈(0,2)单调递减

由f(x)是奇函数可知f(x)在x∈(-2,0)时也单调递减

【注】题目中(0,-2)这个区间输入有误，请查证；不能说f(x)在x∈(-2,2)时单调递减。

由奇函数性质可知，

当x∈(-2,2)时，f(x)∈(-1/2,-25/626)∪{0}∪(25/626,1/2)

因此，当β∈(-1/2,-25/626)∪{0}∪(25/626,1/2)时，方程f(x)=β在(-2,2)上有实数解。