Question

数学题：杨辉三角

下图为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b）的N次方（其中n为正整数）展开式的系数
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 n 1
（1）求图中n的值
（2）请你仔细观察下列各式中的规律（a+b）=a+b，（a+b）的平方=a的平方+2ab+b的平方，（a+b）的三次方=a的三次方+3a的平方b+3ab的平方+b的三次方。利用其中的规律写出（a+b）的四次方、（a+b）的五次方的结果。
（3）探究：（a-b）的三次方的结果

Answer 1

一、杨辉三角每下一层比上一层多一个数，其中左右两个数不动，其他数为上面相邻两数之和。那么N为3+1，也就是4。
二、根据规律可以知道：

（a+b)^4的系数为1、4、6、4、1
（a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

（a+b)^5的系数为1、5、10、10、5、1
（a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5

三、（a-b）^3可以看为[a+(-b)]^3 ，下面是算法：
（a-b）^3
=[a+(-b)]^3
=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3
=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

Answer 2

4

四次的系数：1 4 6 4 1
五次的系数：1 5 10 10 1

a^3-3a^2b+3ab^2-b^3