Question

全微分中最后的高阶无穷小在平面图形中表示dx与dy之积，又怎么会等于根号下（dx）^2与（dy）^2之和？？？

Answer 1

不是说它们相等，而是它们作为无穷小量具有相同的阶。这里讨论的f(x,y)=xy是一个特殊的函数，其比线性主部高阶的无穷小量为ΔxΔy，但对于一般的函数f(x,y)，Δz的高阶无穷小量不一定是ΔxΔy这种形式，但一定可以表示为ο(√(Δx^2+Δy^2))的形式。

追问

高阶无穷小如何表示为ο(√(Δx^2+Δy^2))的形式？？或者哪里有介绍，我自己找找……麻烦了

追答

其实你大致看一下就知道了，√(Δx^2+Δy^2)和Δx（或Δy）的阶是相同的，因为是先平方再开根号嘛，所以要表示比Δx更高阶的无穷小，也就是比√(Δx^2+Δy^2)高阶的无穷小，当然是o(√(Δx^2+Δy^2))了，书上全微分那块应该有。

Answer 2

不是等价，ΔxΔy是√(Δx^2+Δy^2)的高阶无穷小，意思是说ΔxΔy/√(Δx^2+Δy^2)去极限的时候等于0，就可以写成那样，这是定义式啊。高等数学里的定义式。。明显嘛，因为前面的ΔxΔy是二阶的，√(Δx^2+Δy^2)是一阶的。二阶的是一阶的无穷小，为的其实是说明后面的ΔxΔy相比较线性主要部分是次要的的。