Question

sin2θ=tanθ-cos2θ,求sinθ- cosθ

sin2θ=tanθ-cos2θ,求sinθ- cosθ 求详解

Answer 1

sin2θ=tanθ-cos2θ,求sinθ- cosθ

令tanθ=t，则可得sin2θ=2t/(1+t²)，
cos2θ=(1-t²)/(1+t²)，
代入已知式，化简得t³+t²-t-1=0，
即(t²-1)(t+1)=0，解得t=±1，即tanθ=±1，
当tanθ=1时，θ的终边在第一或第三象限的角平分线上，sinθ-cosθ=0；
当tanθ=-1时，θ的终边在第二或第四象限的角平分线上，sinθ-cosθ=±√2。
所以选项是 第一 0 和第二 -√2

追问

sin2θ=2t/(1 t²)，cos2θ=(1-t²)/(1 t²)，怎么化成的

sin2θ=2t/(1 t²)，cos2θ=(1-t²)/(1 t²)，怎么化成的

追答

sin2θ=2sinθcosθ
=2tanθ*cos²θ
=2tanθ/(1/cos²θ)
=2tanθ/[(cos²θ+sin²θ)/cos²θ]
=2tanθ/(1+tan²θ)
=2t/(1+t²) [t=tanθ]

Answer 2

sin2θ=tanθ-cos2θ

2sinθcosθ=sinθ/cosθ-1+2sin²θ
2sinθcosθ*(cosθ-sinθ)+(cosθ-sinθ)=0
2sinθcosθ+1=0
2sinθcosθ=-1
sin²θ+cos²θ-2sinθcosθ=3
(sinθ-cosθ)²=3
sinθ-cosθ=±√3

追问

选项只有-√2、0、1、2√2

追答

不好意思，算错了：
sin2θ=tanθ-cos2θ
2sinθcosθ=sinθ/cosθ-1+2sin²θ
2sinθcosθ*(cosθ-sinθ)+(cosθ-sinθ)=0
2sinθcosθ+1=0
2sinθcosθ=-1
sin²θ+cos²θ-2sinθcosθ=2
(sinθ-cosθ)²=2
sinθ-cosθ=±√2
因此，选A

追问

2sinθcosθ*(cosθ-sinθ) (cosθ-sinθ)=0 是怎么来的？

追答

2sinθcosθ=sinθ/cosθ-1+2sin²θ 两边同乘以cosθ
2sinθcos²θ=sinθ-cosθ+2sin²θcosθ
2sinθcos²θ-2sin²θcosθ+cosθ-sinθ=0
2sinθcosθ*(cosθ-sinθ)+(cosθ-sinθ)=0