Question

关于线性代数的一道题目,如图,请教各位数学大神,谢谢!

谢谢,跪求详细过程,求过程!

Answer 1

行列式展开得D=x1(3)+x2(3)+x3(3)-3x1x2x3,
由x1,x2,x3是方程的根，带入方程的x1(3)+px1+q=0,x2(3)+px2+q=0,x3(3)+p(x3)+q=0,
三个方程相加得x1(3)+x2(3)+x3(3)+p(x1+x2+x3)+3q=0;
将x1(3)+x2(3)+x3(3)=D+3x1x2x3带入x1(3)+x2(3)+x3(3)+p(x1+x2+x3)+3q=0;
即得D+3x1x2x3+p(x1+x2+x3)+3q=0;不知道一元三次方程的韦达定理你们学过没，
由原方程X(3)+p(x)=q=0
然后由韦达定理的到x1x2x3=-(1/3q）,x1+x2+x3=-p;
带入D+3x1x2x3+p(x1+x2+x3)+3q=0;得到D=(1/q)+p(2)-3q

Answer 2

x^3+px+q=(x-x1)(x-x2)(x-x3)，比较两边二次项的系数得x1+x2+x3=0，比较两边常数项得x1x2x3=-q。
将行列式展开得x1^3+x2^3+x3^3-3x1x2x3=(-px1-q)+(-px2-q)+(-px3-q)+3q=-p(x1+x2+x3)=0。

Answer 3

因为(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x^3-(x1+x2+x3)x^2+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3=x^3+px+q
所以x1+x2+x3=0,x1x2+x2x3+x1x3=p,x1x2x3=-q（或利用veita定理）
D=x1^3+x2^3+x3^3-3x1x2x3
=(x1+x2+x3)^3-3(x1+x2+x3)(x1x2+x2x3+x1x3)
=0

Answer 4

感觉这道题更像是考察一元三次方程根与系数的关系。。。

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