Question

已知点M(x,y)与两个定点M1.M2距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形

Answer 1

设M1（a1，b1），M2（a2，b2）。
根据题意和距离公式有
[（x-a1)^2+（y-b1)^2]/[（x-a2)^2+（y-b2)^2]=m^2
化简得
(1- m^2)(x^2) - 2*(a1-m^2*a2)x + (a1^2 -m^2*a2^2)
+(1- m^2)(y^2) - 2*(b1-m^2*b2)y + (b1^2 -m^2*b2^2)= 0
(1)
当m＝1时，上式为
2*(a1-a2)x ＋2*(b1-b2)y －(a1^2 -a2^2)－ (b1^2 -b2^2)= 0
显然是一条直线
（2）
当m≠1时，上式为
（x －(a1-m*a2)/(1- m^2))^2 +（y －(b1-m*b2)/(1- m^2))^2
=((a1-a2)^2+(b1-b2)^2)*m^2/(1- m^2)^2
显然，a1≠a2且b1≠b2，方程的右边大于0，
所以，轨迹是一个圆

Answer 2

设M1(a,0)，M2(-a,0)设M(x,y)MM1:MM2=m(x-a)²+y²=m²[(x+a)²+y²]整理后得(m²-1)x²+(m²-1)y² +2a(m+1) x+(m²-1)a²=0 m=1，表示直线x=0,即M1M2的中垂线m≠1，表示一个圆
copy的。。。。。

Answer 3

分析：由m为正值，当m＝1时，M的轨迹方程表示一条直线，当m≠1时表示一个圆。………

解：设M1(a,b)，M2(P,Q），
依题意由两点坐标距离公式得：

[（x-a)² （y-b)²]/[（x-P)² （y-Q)²]=m²（1）

当m＝1时，上式分子与分母相等，可化为方程的一般形式，即
（x-a)² （y-b)²－（x-P)² （y-Q)²]＝0

去括号转化并整理得：
(2P-2a)x (2Q-2b)y (a²＋b²-P²-Q²）＝0

由直线方程的一般形式:Ax By C＝0可知上式方程表示一条直线。

当m≠1时，由（1）式方程转换为：
（x-a)² （y-b)²]＝m²[（x-P)² （y-Q)²]

上述方程的左式与与圆的标准方程形式相同，且右式＞0，符合圆的标准方程中半径的取值，所以当m≠1时，上述方表示一个圆。