数学，空间向量点到平面的距离公式是什么？
公式：
推导过程：
平面π的方程为：Ax+By+Cz+D=0，向量
为平面的法向量，平面外一点
坐标为
在平面上取一点
则点
到平面π的距离为：
其中α为向量
与
的夹角
而
由于点
在平面π上，因此有
即
由此可得
所以
此公式即为点到平面的距离公式。
扩展资料
空间向量基本定理
1、共线向量定理
两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb
2、共面向量定理
如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by
3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
在一个向量空间V中，定义为V*V 的正定对称双线性形式函数即是V的数量积，而添加有一个数量积的向量空间即是内积空间。点积适用于交换律、结合律、分配律。
点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量之间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。
参考资料来源：百度百科-点到平面距离
在空间向量中，平面外一点P到平面α的距离d为：d=|n.MP|/|n|。
式中，n ---平面α的一个法向向量，M ----平面α内的一点，MP---向量。
立体几何中，点到平面的距离没有具体的公式。
在此情况下，一般是由点向平面作垂线，将垂线与平面内有关的线段构成平面几何图形，利用勾股定理或三角函数，求出要求的距离。
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点到平面距离公式是：
点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度叫做点到平面的距离，特殊的有，当点在平面内，则点到平面的距离为0。
平面的一般式方程Ax +By +Cz + D = 0
其中n = (A, B, C)是平面的法向量，D是将平面平移到坐标原点所需距离（所以D=0时，平面过原点）。
向量的模（长度）给定一个向量V（x, y, z),则|V| = sqrt(x * x + y * y + z * z)。
向量的点积（内积）给定两个向量V1(x1, y1, z1)和V2(x2, y2, z2)则他们的内积是V1V2 = x1x2 + y1y2 + z1z2。
空间向量点到平面的距离公式如下图：
点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度叫做点到平面的距离，特殊的有，当点在平面内，则点到平面的距离为0。
空间向量点到平面的距离中的向量法：
1、设平面外那个点为P，平面内任意一点为A，任意一点都行。
则距离为 向量PA点乘法向量再除以法向量的模。
2、当d≠0时，根据d的符号，可以判断点Q在平面的哪一侧。假设平面法向量n的方向与图中一致，且该方向指向平面的外侧，那么
(1)d>0时，Q在平面外侧；
(2)d<0时，Q在平面内侧。
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空间中面到面的距离公式计算
举例：已知：正方形ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求直线BC1到截面ACD1的距离。
分析：因正方形，故BC1//AD1，∴ BC1//平面ACD1，由线面距离的概念，BC1到面ACD1的距离即BC1上任一点到平面ACD1垂线段的长，亦等于过BC1且与平面ACD1平行的平面与平面ACD1的距离。
设B点到平面PEF的距离为h，连结BF，则¡SΔPEF¡h=V三棱锥B-PEF，
连结CE，CF，在RtΔCBE中，BC=4，BE=2，
∴ CE2=20，又在RtΔPCE中，PC=2，
∴ PE=2，同理可求得PF=2，又可求得EF=2，
∴ 可求得SΔPEF=2，
又：V三棱锥B-PEF=V三棱锥P-BEF，已知PC⊥平面BEF，
∴ ¡2¡h=¡SΔBEF¡PC，
∴ h=P。
参考资料来源：百度百科-点到平面距离
d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)
点到平面的距离：点(x0，y0，z0)到了平面Ax+By+Cz+D=0的距离
在此情况下，一般是由点向平面作垂线，将垂线与平面内有关的线段构成平面几何图形，利用勾股定理或三角函数，求出要求的距离。
扩展资料：
两个空间向量a，b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。
如果两个向量a，,b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。
利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 a,b，求：<a，b> 的问题。利用向量求距离即求向量的模问题。
利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标。
参考资料来源：百度百科——空间向量
