矩阵的秩与其伴随矩阵的秩有什么关系

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life白R
2020-07-29 · TA获得超过324个赞
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一个矩阵与其伴随矩阵的秩的关系:

1、如果 A 满秩,则 A* 满秩;

2、如果 A 秩是 n-1,则 A* 秩为 1 ;

3、如果 A 秩 < n-1,则 A* 秩为 0 。(也就是 A* = 0 矩阵)

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证明如下所示:

1、若秩r(A)=n,说明行列式|A|≠0,说明|A*|≠0,所以这时候r(A*)=n;

2、若秩r(A)<n-1,说明,行列式|A|=0,同时,矩阵A中所有n-1阶子式均为0,即行列式|A|的所有代数余子式均为0,所以这时候r(A*)=0;

3、若秩r(A)=n-1,说明,行列式|A|=0,但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0,对此有:
AA*=|A|E=0

4、从而r(A)+r(A*)小于或等于n,也就是r(A*)小于或等于1,又因为A中存在n-1阶子式不为0,所以Aij≠0,得r(A*)大于或等于1,所以最后等于1.

liz112211
2020-07-27 · TA获得超过245个赞
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一个方阵与其伴随矩阵的秩的关系:

(1)当r(A)=n时,|A|≠0,所以|A*|≠0,所以r(A*)=n;

(2)  当r(A)=n-1时,|A|=0,但是矩阵A中至少存在一个n-1阶子式不为0(秩的定义),所以r(A*)大于等于1(A*的定义);   

为了证明r(A*)=1,下面证明  r(A*) 小于等于1                           

这里利用公式AA*=|A|E=0,根据上次给大家总结的有关秩的结论,我们得到r(A)+r(A*)小于等于n,因为r(A)=n-1,所以 r(A*) 小于等于1 ,综上 r(A*) =1;

(3)当r(A)<n-1时,矩阵A中所有n-1阶子式均为0,即A*=0,所以r(A*)=0

扩展资料:

矩阵的秩计算公式:A=(aij)m×n

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数,通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

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