Question

已知抛物线y2=2x,过点Q（2,1）作一条直线交抛物线于A.B两点，试求弦AB中点的轨迹方程

1已知抛物线y^2=2x,过点Q（2,1）作一条直线交抛物线于A.B两点，试求弦AB中点的轨迹方程
2已知曲线方程为（k-1）x^2=x+ky，证明无论k取何值，曲线都经过两个定点，并求出定点的坐标。
3
已知P是椭圆x2/9+y2/4=1上的点,求点P到直线x+2y-10=0的距离的最大值

Answer 1

1， 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点P(x0，y0)，则：
将A，B坐标代入抛物线方程得：
y1²=2x1……①
y2²=2x2……②
①-②得：(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2)，
则，直线AB斜率：k=(y1-y2)/(x1-x2)=2/(y1+y2)=1/y0
又，Q(2，1)在AB上，则：k=(y0-1)/(x0-2)
即：1/y0=(y0-1)/(x0-2)，整理得：y0²-y0+2=x0
即：AB中点的轨迹为：y²-y+2=x（抛物线）
2， 解：整理曲线方程(k-1)x²=x+ky，得：k(x²-y)-x²-x=0
则，原曲线方程是：经过x²-y=0……③和x²+x=0……④交点的曲线系方程。
联立③，④，解方程组得：x=0，y=0，或x=-1，y=1
即：原曲线方程必过点(0，0)，(-1，1)
3，整理x²/9+y²/4=1，得：x²/3²+y²/2²=1
设点P的作标为（3cosα，2sinα）
点P到直线距离：h=｜3cosα+4sinα-10｜/√5
由辅助角公式acosx+bsinx=√(a²+b²)(acosx/√(a²+b²)+bsinx/√(a²+b²))，
h=｜5[(3/5)cosα+(4/5)sinα]-10｜/√5=｜5sin(α+β)-10｜/√5，（β= arctan(3/4)）
h最大=｜-5-10｜/√5=3√5

Answer 2

提示一下：用点差法最简单。
令A(x1,y1),B(x2,y2),中点P(x0,y0）
那么 y1^2=2x1
y2^2=2x2
相减得到：
(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2)
直线AB的斜率为k=(y1-y2)/(x1-x2)=2/(y1+y2)
易知：y1+y2=2y0
即 k=1/y0
又斜率k=(y0-1)/(x0-2)
故 (y0-1)/(x0-2) =1/y0
那么 x0=y0^2-y0+2
所以轨迹方程：x=y^2-y+2