Question

已知函数f（x）=x2-ax-alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处...

已知函数f（x）=x2-ax-alnx（a∈R）． （1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值． （2）在（1）的条件下，求证：f（x）≥-x33+5x22-4x+116； （3）当x∈[e，+∞），f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）解：f′(x)=2x-a-ax，由题意可得f′（1）=0，解得a=1；
经检验，a=1时f（x）在x=1处取得极值，所以a=1．（3分）
（2）证明：由（1）知，f（x）=x2-x-lnx．
令g(x)=f(x)-(-x33+5x22-4x+116)=x33-3x22+3x-lnx-116，
由g′(x)=x2-3x+3-1x=x3-1x-3(x-1)=(x-1)3x(x＞0)，
可知g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
所以g（x）告耐帆≥g（1）袜雹=0，所以f(x)≥-x33+5x22-4x+116成立；（8分）
（3）解：由x∈[e，+∞）知，x+lnx＞0，
所以f（x）亩蚂≥0恒成立等价于a≤x2x+lnx在x∈[e，+∞）时恒成立，
令h(x)=x2x+lnx，x∈[e，+∞），有h′(x)=x(x-1+2lnx)(x+lnx)2＞0，
所以h（x）在[e，+∞）上是增函数，有h(x)≥h(e)=e2e+1，所以a≤e2e+1．（12分）