Question

求分段函数的f'（x）

f(x)=(1/x)-1/((e^x)-1) x≠0
f(x)=k x=0
f(x) 连续
求k 和f'(x)

Answer 1

由连续性，则有f(0)=limf(x)，x->0
即k=lim[1/x-1/(e^x-1)]=lim(e^x-1-x)/[x(e^x-1)]
再多次用洛比达法则 =lim(e^x-1)/[e^x-1+xe^x]
=lim(e^x)/(2e^x+xe^x)=1/2
∴k=1/2
x≠0时，f'(x)=-1/x²+e^x/(e^x-1)²
x=0时，f'(0)=lim[f(x)-f(0)]/x，x->0
=lim[1/x-1/(e^x-1)-1/2]/x
=lim{(e^x-1-x)/[x²(e^x-1)]-1/(2x)}
=lim(2e^x-2-2x-xe^x+x)/[2x²(e^x-1)]
=lim(2e^x-xe^x-x-2)/[2x²(e^x-1)]
=lim(2e^x-e^x-xe^x-1)/(4xe^x-4x+2x²e^x)
=lim(e^x-xe^x-1)/(4xe^x-4x+2x²e^x)
=lim(e^x-e^x-xe^x)/(4xe^x+4e^x-4+4xe^x+2x²e^x)
=lim-xe^x/(8xe^x+4e^x+2x²e^x-4)
=lim(-e^x-xe^x)/(8e^x+8xe^x+4e^x+4xe^x+2x²e^x)
=lim(-1-x)/(12+12x+2x²)=-1/12

Answer 2

最好是截图，这样的题不好看

追问

上图了