Question

lim(x^(1/x)-1)^(1/lnx) x趋向于正无穷

在线等，谢谢啦\(^o^)/~最好能有步骤啊

Answer 1

lim{x->+∞}(x^(1/x)-1)^(1/lnx)
=exp(lim{x->+∞}[ln(x^{1/x}-1}]/lnx)
罗比达法则
=exp(lim{x->+∞}x^{1/x}*1/x^2*(1-lnx)/(x^(1/x)-1)*1/x)
=exp(lim{x->+∞}x^{1/x}*[(1-lnx)/x]/[(x^(1/x)-1)])
=exp(lim{x->+∞}[(1-lnx)/x]/[(x^(1/x)-1)])
罗比达法则
=exp(lim{x->0}[(-1-(1-lnx))/x^2]/[x^{1/x}*(1-lnx)/x^2])
=exp(lim{x->0}(-2+lnx)/(1-lnx))=e^{-1}
这里exp(x)=e^x, 之所以能用罗比达法则是因为
lim{x->+∞}x^(1/x)=exp(lim{x->+∞}lnx/x)=exp(lim{x->+∞}1/x)=e^0=1